حساب کردن سود مرکب: روش‌های محاسبه سود و قسط تسهیلات فروش اقساطی

ناهید محسنی*
با تشکر از روزنامه دنیای اقتصاد که از فراهم شدن زمینه بحث درباره روش‌های محاسبه سود و قسط تسهیلات فروش اقساطی استقبال نموده است، متنی در پاسخ به مقاله آقای مهدی حبیبی مندرج در صفحه ۱۲ شماره ۱۰۲۶ آن روزنامه در تاریخ چهارشنبه ۱۸/۵/۸۵، تهیه شده است که در ادامه بحث‌های قبلی ارائه می‌شود.

     

ناهید محسنی*
با تشکر از روزنامه دنیای اقتصاد که از فراهم شدن زمینه بحث درباره روش‌های محاسبه سود و قسط تسهیلات فروش اقساطی استقبال نموده است، متنی در پاسخ به مقاله آقای مهدی حبیبی مندرج در صفحه ۱۲ شماره ۱۰۲۶ آن روزنامه در تاریخ چهارشنبه ۱۸/۵/۸۵، تهیه شده است که در ادامه بحث‌های قبلی ارائه می‌شود.

آقای حبیبی در مقاله خود اظهار داشته‌اند که فرمول‌های بانکی و جهانی هر دو بهره مرکب سرمایه گذاری را محاسبه می‌کنند.
از آنجا که محاسبه بهره مرکب در بانکداری بدون ربا مجاز نیست، این گفته ایشان عملکرد تمامی بانک‌های داخلی و بانک مرکزی را زیر سوال می‌برد.
بنابراین در این مقاله با استناد به منابع معتبر و با ذکر منبع به رد گفته ایشان پرداخته می‌شود.
در کتاب «ریاضیات بازرگانی» تالیف دکتر حسن ستاری‌تهرانی، انتشارات دانشگاه تهران، متن زیر را در خصوص مرابحه مرکب می‌خوانیم:
«در محاسبات ربح مرکب بهره سرمایه در آخر هر دوره مالی به اصل سرمایه اضافه و مجموع اصل و فرع هر دوره، سرمایه جدیدی برای دوره بعدی است.
بنابراین اصل و فرع سرمایه‌ای در n دوره عبارت است از اصل سرمایه به اضافه بهره مرکب n دوره. بدین ترتیب که در آخر هر دوره سرمایه و بهره آن دوره، سرمایه جدیدی را برای دوره بعد تشکیل می‌دهد.»
درکتاب «ریاضیات بازرگانی» تالیف بیژن شمس و کیخسرو فرخ‌زاده، انتشارات موسسه عالی حسابداری نیز درباره مرابحه مرکب آمده است:
«بنابر تعریف بهره، اگر قرار باشد که نرخ بهره معینی پرداخت شود، قرض‌دهنده یا سرمایه‌گذار در پایان فاصله معینی از زمان در مقابل تفویض حق استفاده از سرمایه‌اش برای این مدت مقدار ثابتی پول دریافت خواهد نمود.
در نظریه مرابحه مرکب فرض می‌شود هنگامی که سرمایه‌گذار این مبلغ را دریافت می‌دارد می‌تواند بلافاصله آن را مانند سرمایه به کار برده و از این مبلغ مانند سرمایه اصلی، بهره دریافت کند.
یکی از فرض‌های اساسی نظریه مرابحه مرکب آن است که مقدار سرمایه تابعی پیوسته از زمان می‌باشد.
البته در عمل، بهره در پایان فواصل معینی از زمان به سرمایه اضافه می‌شود و در نتیجه مقدار سرمایه در انتهای فواصل معینی از زمان جهش ناگهانی خواهد داشت.»
اساس تعاریف فوق همان عبارتی است که آقای حبیبی نیز در مقاله خود به آن اشاره کرده‌اند: «بهره‌ مرکب به مفهوم اختصاص بهره به بهره می‌باشد.»
بنابراین در اصل این موضوع اختلافی وجود ندارد. اما ایشان در قسمتی از مقاله عنوان نموده‌اند: «از آنجایی که نرخ بهره را برای هر دوره محاسبه کردیم، در واقع از بهره مرکب استفاده کردیم.»
محاسبه بهره برای هر دوره، نمی‌‌تواند ملاک محاسبه بهره مرکب باشد.
در صورتی بهره مرکب محاسبه می‌شود که بهره محاسبه شده برای هر دوره، به اصل سرمایه اضافه شود و بهره دوره بعدی نسبت به اصل سرمایه جدید محاسبه شود. در هیچ یک از فرمول‌های فروش اقساطی بانکی (روشی که در بانک‌های دولتی ایران استفاده می‌شود) و جهانی (روشی که در بانک‌های سایر کشورها و همچنین برخی بانک‌‌های خصوصی ایران اعمال می‌شود)، بهره محاسبه شده برای هر ماه به اصل سرمایه در ماه بعد اضافه نمی‌شود. در هر دو فرمول مورد بحث، سود هر ماه نسبت به باقیمانده اصل تسهیلات محاسبه می‌شود.
تاکیدی که در مقاله قبلی بر یکسان بودن روش محاسبه فرمول‌های بانکی و جهانی داشته‌ام و مورد انتقاد آقای حبیبی قرار گرفته، دقیقا به همین علت است. در مقاله قبلی اینجانب عنوان شده است که «فرمول‌های محاسبه اقساط که با عنوان‌های فرمول بانکی و فرمول جهانی مورد اشاره قرار گرفته‌اند، هر دو با یک روش یکسان محاسبه شده‌اند. تنها نکته‌ای که باعث شده نتیجه فرمول‌ها متفاوت باشد، نحوه تفکیک اصل اقساط ماهانه است.» بنابراین علت متفاوت بودن نتیجه فرمول‌ها مشخص است. مسلما دو روش یکسان برای محاسبه، اگر با پارامترهای متفاوتی محاسبه شوند، به‌رغم یکسان بودن روش، نتایج متفاوتی خواهند داشت که علت آن متفاوت بودن پارامتر‌های به کار رفته (در اینجا سهم اصل هر قسط) روش دقیق محاسبه دو فرمول به شرح زیر است:
فرمول بانکی:

چنانچه ملاحظه می‌شود، سود ماه اول برای کل مبلغ تسهیلات و مدت یک ماه محاسبه شده است.

سود ماه دوم برای مبلغ تسهیلات منهای اصل تسهیلاتی که در قسط ماه اول پرداخت شده است (فرض شود باشد) و برای مدت یک ماه محاسبه می‌شود. بنابراین باز هم سود به نسبت باقیمانده اصل تسهیلات محاسبه شده است و هیچ نشانه‌ای از مشخصات و یا تعریف سرمایه گذاری با بهره مرکب در آن وجود ندارد.

سود ماه سوم برای مبلغ تسهیلات منهای اصل تسهیلاتی که در قسط‌های اول و دوم پرداخت شده است ‌ و برای مدت یک ماه محاسبه می‌شود.
ملاحظه می‌شود که در هر ماه برای مبلغی از باقیمانده اصل تسهیلات که در اختیار گیرنده تسهیلات است، سود محاسبه می‌شود. تاکید می‌شود که محاسبه سود برای باقیمانده اصل تسهیلات و نه باقیمانده بدهی انجام می‌شود.
طبق تعاریف ذکر شده برای بهره مرکب، در این روش بهره مرکب محاسبه نشده است.
فرمول جهانی

سود ماه اول دقیقا مثل فرمول بانکی محاسبه می‌شود.

سود ماه دوم نیز مثل فرمول بانکی، برای مبلغ تسهیلات منهای اصل تسهیلاتی که در قسط ماه اول پرداخت شده است و برای مدت یک‌ماه محاسبه می‌شود. با این تفاوت که در اینجا اصل قسط ماه اول که با a1 نشان داده شده است، اصل واقعی تسهیلات (مبلغ قسط ماه اول منهای سود قسط ماه اول) در نظر گرفته می‌شود.

سود ماه سوم نیز مثل فرمول بانکی، برای مبلغ تسهیلات منهای اصل تسهیلاتی که در قسط‌های اول و دوم پرداخت شده (اصل اقساط واقعی و نه اصل اقساط فرضی) و برای مدت یک‌ماه محاسبه می‌شود.
در هر دو روش (فرمول بانکی و فرمول جهانی) مبالغ سود‌های هر ماه برای تمام مدت بازپرداخت با هم جمع شده و کل سود تسهیلات را تشکیل می‌دهند. برای محاسبه قسط نیز کل سود تسهیلات با اصل تسهیلات جمع شده و بر تعداد اقساط تقسیم می‌شود. بنابراین در پاسخ به اظهار آقای حبیبی که در مقاله خود آورده‌اند: «صد البته در فرمول بانکی هم از همین مفهوم (بهره مرکب) استفاده شده است، اما به دلیل اینکه سود‌های ماه‌های مختلف در نهایت با هم جمع شده و به تعداد دوره‌ها تقسیم می‌شود، اثر آن فقط کم می‌شود»، تاکید می‌شود که در فرمول جهانی هم مثل فرمول بانکی سود ماه‌ها با هم جمع شده و به تعداد ماه‌ها تقسیم می‌شود.
در پاسخ به عبارت «از آنجایی که نرخ بهره را برای هر دوره محاسبه کردیم در واقع از بهره مرکب استفاده کردیم» در مقاله ایشان نیز تاکید می‌شود که محاسبه نرخ سود برای هر دوره جزو مشخصات بهره مرکب نیست و یکی از خصوصیات روش استهلاکی است.
در روش استهلاکی از بهره مرکب استفاده نمی‌شود و بنابراین به عنوان روشی برای بازپرداخت اقساط انواع تسهیلاتی که به مرور بازپرداخت می‌شوند، به کار می‌رود. در بانکداری اسلامی نیز از این روش برای تسهیلات فروش اقساطی، اجاره به شرط تملیک و جعاله استفاده شده است.
در قسمتی از مقاله آقای حبیبی برای توصیف بهره ساده آمده است: (برای اینکه بهره ساده محاسبه شود) چون اصل پول را به مرور باز پس می‌دهیم، پس سود را باید نصف نماییم.
بازپرداخت اصل تسهیلات به مرور، که مشخصه بازپرداخت به صورت استهلاکی است، می‌تواند به حالت‌های مختلفی (ماهانه، سه‌‌ماهه و...) انجام پذیرد. به عبارت دیگر دوره‌های بازپرداخت می‌تواند متفاوت باشد. در این صورت چطور می‌توان نصف کردن مبلغ سود را به تمامی حالت‌های مختلف بازپرداخت تعمیم داد؟ شاید به علت اینکه در فرمول بانکی محاسبه سود تسهیلات یک عدد ۲ در مخرج کسر وجود دارد، ایشان به نصف کردن مبلغ سود اشاره کرده‌اند. اما این عدد ۲ در مخرج کسر به نصف کردن سود ارتباطی ندارد و ناشی از جمع سود ماه‌های بازپرداخت است که به یک تصاعد حسابی منجر 0 می‌شود. در روند محاسبات، عدد n در صورت ساده می‌شود و (n+1) در صورت کسر و عدد 2 در مخرج کسر، در فرمول باقی می‌ماند.
در پاسخ به بخش دوم مقاله که به نحوه محاسبه سود قسط ماه I در فرمول بانکی اشاره نموده‌اند، تاکید می‌شود که سود ماه I در فرمول بانکی از رابطه‌ای که ایشان اشاره نموده‌اند محاسبه نمی‌شود. البته رابطه ذکر شده اشتباه نیست و چنین ارتباطی بین سود قسط ماه I و ۱-I (در مقاله ایشان سود ماه ۱+I آمده است که احتمالا اشتباه تایپی است) وجود دارد، اما این دلیلی بر روش محاسبه سود ماه I بدین ترتیب نیست، لطفا به روابط زیر توجه کنید:

1

در نتیجه رابطه زیر به دست می‌آید:

۲

بنابراین به‌رغم صحیح بودن این رابطه، روش محاسبه سود ماه I، تخصیص سود برای مدت یک ماه به مبلغ اصل تسهیلات منهای مبالغی از اصل تسهیلات که طی اقساط قبلی (قسط ماه یک تا ماه 1-I) پرداخت شده است، می‌باشد.
ضمنا ایشان اشاره نموده‌اند: «ولی قسط ماه I‌ام در فرمول جهانی برابر با مانده تسهیلات دوره Iام ضرب در ۱۲۰۰/K می‌باشد» تاکید می‌شود که در فرمول جهانی نیز سود قسط ماه I برابر با مانده اصل تسهیلات و نه مانده تسهیلات ضرب در ۱۲۰۰/K است.

3

در پاسخ به بخش سوم مقاله، که به مشکلی در دوره‌های انتهایی تفکیک اصل و سود اقساط در فرمول بانکی اشاره شده است، تاکید می‌شود که چنین مشکلی نه در فرمول بانکی و نه در فرمول جهانی وجود ندارد. چطور امکان دارد پس از پرداخت آخرین قسط تسهیلات، هنوز مبلغی از اصل تسهیلات باقیمانده باشد و بانک در بخش حسابداری با مشکلی مواجه نشود؟ تفکیک اصل و سود اقساط ماهانه در فرمول بانکی، به‌رغم وجود مشکلاتی مثل منفی شدن سهم اصل در اقساط ابتدای مدت بازپرداخت، از نظر جمع اصل و سود کاملا دقیق بوده و در انتهای مدت بازپرداخت تا آخرین ریال اصل تسهیلات تسویه می‌شود.
جدول شماره ۲ مقاله ایشان به شرح زیر تصحیح می‌شود.

4

*کارشناس اداره برنامه‌ریزی و تشکیلات بانک مسکن

بهره مرکب یا قدرت ترکیب پول چیست؟

قدرت ترکیب پول فرآیندی است که در آن دارایی درآمدی تولید می‌کند که آن درآمد هم دوباره سرمایه گذاری شده و درآمد یا سود بیشتری تولید می‌کند. معمولا به این فرآیند “بهره مرکب” می‌گویند و در واقع زمانی اتفاق می‌افتد که شما سود سرمایه گذاری خود را مجدد سرمایه گذاری می‌کنید و دوباره سود به دست می‌آورید. از طریق قاعده بهره مرکب ارزش یک سرمایه گذاری در طول زمان به صورت تصاعدی (چند برابری) افزایش می‌یابد. به علاوه هرچه این سرمایه گذاری مدت بیشتری نگه‌داشته شود، نرخ سود بالاتر خواهد بود و قدرت بیشتر بهره مرکب می‌تواند باعث افزایش ارزش سرمایه گذاری شود. (لطفا سلب مسئولیت از ریسک سرمایه گذاری را در پایین ببینید.)

به طور مثال، اگر شما در ابتدا ۱۰۰۰۰۰ تومان با نرخ سالانه ۱۰% داشته باشید، در پایان سال ۱۱۰۰۰۰ تومان برایتان خواهد ماند. اگر همان ۱۱۰۰۰۰ تومان را برای یک سال دیگر و با همان نرخ ۱۰% سرمایه گذاری کنید، پول شما بعد از دو سال ۱۲۱۰۰۰ تومان خواهد شد. بعد از سه سال، ۱۳۳۱۰۰ تومان. بعد از ۴ سال ۱۴۶۴۱۰ تومان و به همین ترتیب. بعد از بیست سال، ترکیب این ۱۰۰۰۰۰ تومان اولیه با نرخ سالانه ۱۰%، ارزشی معادل ۵۷۲۷۵۰۰ تومان خواهد داشت؛ یعنی ۱۰۰ هزار تومان شما طی بیست سال با بهره مرکب ۱۰ درصدی ۵۷ برابر می‌شود. در صورت داشتن یک نرخ سود بالاتر مثلاً ۱۵ درصدی، همان مقدار پول در طول بیست سال، ۱۰۲۴۴۳۵۸ تومان خواهد شد. این قدرت ترکیب پول یا بهره مرکب است که معمولاً هیچ یک از شما چیزی در مورد آن نمی‌دانید.
چرا دانستن نحوه عملکرد بهره مرکب اهمیت دارد؟

آلبرت اینشتین زمانی گفته بود:”بهره مرکب هشتمین مورد از عجایب جهان است.” بهره مرکب قلب تپنده پس انداز و سرمایه گذاری است و نشان می‌دهد که سرمایه گذاری های کوچک چگونه می توانند به دارایی های بزرگ تبدیل شوند. هرچه زودتر شروع به پس انداز و سرمایه گذاری کنید، قدرت ترکیب پول برای زمان بیشتری می‌تواند به افزایش ارزش یک سرمایه گذاری کمک کند. در شروع پس انداز و سرمایه گذاری تاخیر نکنید، حتی اگر فکر می‌کنید که پولی برای پس انداز کردن ندارید. جریانات نقدی و بودجه خود را بررسی کنید تا راه هایی برای پس انداز پول بیابید.

سناریوی زیر را در نظر بگیرید:

فرض کنید شما فردی ۲۵ ساله هستید و تصمیم می‌گیرید سالی ۵ میلیون تومان برای بازنشستگی‌تان کنار بگذارید تا سن ۶۵ سالگی چیزی در حدود ۹ میلیارد و ۳۰۰ میلیون تومان پول برای دوره بازنشستگی خود خواهید داشت (فرض کنید که سرمایه شما سالی ۱۵ درصد رشد کند). اگر صبر کنید و از سن ۳۵ سالگی این کار را شروع کنید شما در سن ۶۵ سالگی تنها ۲ میلیارد و ۳۰۰ میلیون تومان خواهید داشت. در حقیقت زمان برای پس‌انداز برای دوران بازنشستگی در حکم سرمایه است، بنابراین حتی یک‌لحظه هم برای آغاز سرمایه‌گذاری‌تان معطل نکنید. به بیان دیگر، بهتر است زودتر شروع به پس انداز کنید.
برای بهره مندی از مزایای بهره مرکب چه کار باید کرد؟

پاسخ این سوال ساده است: هیچ کار. این زیبایی به مرکب است. کافی است فقط در دارایی هایی سرمایه گذاری کنید که نرخ سود بالایی دارند، همان سودها را دوباره سرمایه گذاری کرده و بقیه کار را به قاعده بهره مرکب بسپارید. عامل مهم در اینجا آن است که هرچقدر می‌توانید زود شروع کنید تا بهره مرکب، زمان بیشتری برای نشان دادن قدرت خود داشته باشد. البته اگر شما به صورت معمول در طول زمان به سرمایه گذاری های خود اضافه می‌کنید، سرمایه بزرگ‌تری خواهید داشت که سود بیشتر کسب می‌کند و در نتیجه با سرعت بیشتری ترکیب خواهد شد.

نکته ای فراتر از آنچه تا به حال گفتیم این است که در برابر وسوسه خارج کردن پول از حساب های سرمایه گذاری یا پس اندازتان مقاومت کنید. ممکن است وسوسه شوید که از آن پول برای یک خرید مهم مثل خرید قسطی خانه یا یک ماشین جدید استفاده کنید. تاثیر بلند مدت آن بر ارزش سرمایه گذاری شما بسیار بیشتر از هزینه وام های کوتاه مدت خواهد بود. به جای این کار، یک برنامه پس انداز مشخص برای این سری از اهداف ایجاد کنید. وقتی به هدفتان رسیدید، می‌توانید از آن پول ها آنطور که برایش برنامه داشتید بهره ببرید. بد نیست مقاله تعیین اهداف مالی و دستیابی به آن‌ها در پنج گام را مطالعه کنید.

سلب مسئولیت از ریسک سرمایه گذاری

همه سرمایه گذاری ها دارای ریسک هستند. عملکرد گذشته به هیچ وجه شاخص مطمئنی برای پیش بینی روندهای آتی و پیش رو نیستند. سرمایه گذاری در سهام و صندوق ها ممکن است از نظر ارزشی دچار کاهش شده و به زیان سرمایه منجر شود. معامله آنلاین به خاطر پاسخ سیستمی و زمان های دسترسی که تحت تاثیر عوامل زیادی ازجمله شرایط بازار و عملکرد سیستم و… قرار دارند، دارای ریسک ذاتی هستند. یک سرمایه گذار باید به چنین حقایقی قبل از معامله و سرمایه گذاری اشراف و آگاهی کامل داشته باشد.